L’énigme du nénuphar est simple : un nénuphar double sa surface chaque jour et couvre tout l’étang en 30 jours. Quand couvre-t-il la moitié de l’étang ? La bonne réponse est le 29e jour, et non le 15e. Puisque sa surface double chaque jour, il passe de la moitié à la totalité de l’étang en une seule journée. Cette énigme illustre la croissance exponentielle, celle-là même qui permet au blob de doubler de taille en un jour.
L’énoncé de l’énigme du nénuphar
Voici la version la plus répandue :
Un nénuphar pousse dans un étang. Chaque jour, sa surface double. Au bout de 30 jours, il couvre tout l’étang. Au bout de combien de jours couvre-t-il la moitié de l’étang ?
Prenez quelques secondes avant de lire la suite. La réponse qui vient spontanément à la plupart des gens est 15 jours. Elle est fausse.
La solution : le 29e jour
Le plus simple est de raisonner à l’envers. Le 30e jour, l’étang est entièrement couvert. La veille, le nénuphar était deux fois plus petit, puisqu’il double chaque jour. Le 29e jour, il couvrait donc exactement la moitié de l’étang.
Le même raisonnement donne le quart le 28e jour, le huitième le 27e jour, et ainsi de suite. Le tableau ci-dessous montre à quel point la fin est brutale.
| Jour | Part de l’étang couverte |
|---|---|
| 30 | 100 % |
| 29 | 50 % |
| 28 | 25 % |
| 27 | 12,5 % |
| 26 | 6,25 % |
| 25 | environ 3 % |
| 20 | environ 0,1 % |
| 15 | environ 0,003 % |
Au 25e jour, le nénuphar n’occupe qu’environ 3 % de l’étang. Un observateur qui passerait ce jour-là penserait qu’il reste beaucoup de place. Pourtant, cinq jours plus tard, l’étang est plein.
Photo : Ekko (auteur présumé), Public domain, via Wikimedia Commons
Pourquoi notre cerveau répond 15 jours
Spontanément, nous raisonnons de façon linéaire : si 30 jours donnent la surface entière, 15 jours devraient en donner la moitié. Ce serait vrai si le nénuphar gagnait la même surface chaque jour. Mais ici, il gagne chaque jour autant qu’il a déjà, et son gain quotidien devient énorme à la fin.
L’énigme est un excellent test d’attention. Elle montre que l’intuition se trompe face aux phénomènes qui doublent, comme une épidémie, un placement à intérêts composés ou une colonie de micro-organismes.
Variante à deux nénuphars : 29 jours
Une variante courante demande : si l’on place deux nénuphars au lieu d’un seul au départ, combien de jours faut-il pour couvrir l’étang ? Beaucoup répondent 15 jours, en divisant par deux. La bonne réponse est 29 jours.
Deux nénuphars au départ, c’est la même surface qu’un seul nénuphar après un jour de croissance. Ils ont donc simplement une journée d’avance, et l’étang est couvert un jour plus tôt. Doubler le point de départ ne fait gagner qu’un jour.
Variante à 48 jours : la réponse est 47
Une autre version célèbre fixe la durée à 48 jours : une tache de nénuphars double chaque jour et couvre le lac en 48 jours. Quand couvre-t-elle la moitié du lac ? Réponse : le 47e jour. La réponse intuitive, 24, est fausse pour la même raison.
Cette version figure dans le test de réflexion cognitive publié en 2005 par le chercheur américain Shane Frederick. Ce test court, de trois questions, mesure la tendance à se fier à sa première intuition plutôt qu’à vérifier son raisonnement.
La croissance exponentielle, expliquée simplement
Une croissance est exponentielle quand la quantité est multipliée par le même nombre à chaque intervalle de temps. Ici, elle est multipliée par 2 chaque jour. En 30 jours, la surface est multipliée par 2 trente fois de suite, soit environ un milliard de fois.
Dans la réalité, aucune croissance exponentielle ne dure : la place et la nourriture finissent par manquer. Un vrai nénuphar ne double d’ailleurs pas chaque jour, l’énigme est une simplification. En revanche, certaines plantes flottantes, comme les lentilles d’eau visibles sur la photo d’en-tête, peuvent doubler leur surface en quelques jours dans de bonnes conditions.
Le blob, un nénuphar qui double en une journée
Le blob Physarum polycephalum offre une version vivante de l’énigme. Bien nourri, au chaud et à l’humidité, il peut doubler de surface en une journée environ. Si vous lancez un élevage, vous le verrez : un petit fragment posé le lundi peut couvrir une bonne partie de sa boîte en quelques jours. Notre guide pour faire pousser un blob à la maison explique comment obtenir cette croissance, et notre page sur la nourriture du blob précise quoi lui donner.
Photo : Rob Cruickshank, CC BY 2.0, via Wikimedia Commons
Comme pour le nénuphar, cette croissance s’arrête quand les ressources s’épuisent : le blob se met alors à explorer, ou se dessèche en sclérote. C’est d’ailleurs ce qui le rend si intéressant pour les chercheurs, qui étudient comment il répartit ses efforts entre croissance et exploration. Vous pouvez reproduire une version simple de l’énigme avec nos expériences avec le blob : mesurez sa surface chaque jour et tracez la courbe. Pour aller plus loin, découvrez comment il résout un labyrinthe et pourquoi on se demande si le blob est intelligent.
À retenir
- Énigme du nénuphar à 30 jours : la moitié de l’étang est couverte le 29e jour.
- Avec deux nénuphars au départ : 29 jours pour couvrir l’étang.
- Version à 48 jours : la moitié le 47e jour.
- Le piège vient de notre intuition linéaire face à une croissance exponentielle.
- Le blob, qui peut doubler de surface en une journée environ, en est un exemple vivant, limité par sa nourriture.
Photo d’en-tête : Krzysztof Ziarnek, Kenraiz, CC BY-SA 4.0, via Wikimedia Commons
Questions fréquentes.
Quelle est la réponse à l'énigme du nénuphar ?
Le nénuphar couvre la moitié de l'étang le 29e jour. Comme sa surface double chaque jour, il lui suffit d'une seule journée pour passer de la moitié à la totalité de l'étang, atteinte le 30e jour.
Pourquoi beaucoup de gens répondent 15 jours ?
Notre cerveau raisonne spontanément de façon linéaire : la moitié du temps pour la moitié de la surface. Or la croissance est exponentielle, ce qui rend cette intuition fausse. L'énigme sert justement à montrer ce piège.
Et s'il y a deux nénuphars au départ ?
Avec deux nénuphars qui doublent chacun chaque jour, l'étang est couvert en 29 jours. Partir de deux revient à démarrer avec un jour d'avance sur le nénuphar seul.
Quelle est la réponse avec 48 jours ?
Si la tache de nénuphars couvre l'étang en 48 jours, elle en couvre la moitié le 47e jour. Cette version figure dans un test de réflexion cognitive publié en 2005 par le chercheur Shane Frederick.
Quel rapport entre l'énigme du nénuphar et le blob ?
Le blob Physarum polycephalum peut, dans de bonnes conditions, doubler de surface en une journée environ. Sa croissance ressemble alors à celle du nénuphar de l'énigme, jusqu'à ce que la nourriture ou la place viennent à manquer.
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